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Der Logarithmus ist eine der wichtigsten elementaren Funktionen in der Mathematik, daher hat dessen Berechnung immer eine sehr hohe Priorität. Umso wichtiger ist es daher, diese Berechnung möglichst korrekt durchzuführen. Früher mussten dazu sogenannte Logarithmen-Tafeln herhalten, dann Rechenschieber und später sogenannte Rechenautomaten mit manueller Bedienung. Computer, die ganze Räume füllten, konnten das natürlich, waren jedoch für den normalen Bürger nicht erschwinglich. Mit dem Aufkommen der Taschenrechner Anfang der 1970er-Jahre eröffnete sich nunmehr eine elegante Möglichkeit solche Berechnungen durchführen zu können. Das digitale Rechner korrekt mit Nullen und Einsen rechnen können, sollte als vorausgesetzt betrachtet werden. Nur handelt es sich hier dann um ganze Zahlen, während Logarithmen meist rationale Zahlen sind, also einen Nachkommaanteil haben. Daher ist ein Algorithmus erforderlich, der hier schnell, aber auch präzise Abhilfe schafft.\\
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Die Progrmme sind exklusiv beim PD-Service des WASEO erhältlich, Diskette 1.000):\\
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Der Logarithmus ist eine der wichtigsten elementaren Funktionen in der Mathematik, daher hat dessen Berechnung immer eine sehr hohe Priorität. Umso wichtiger ist es daher, diese Berechnung möglichst korrekt durchzuführen. Früher mussten dazu sogenannte Logarithmen-Tafeln herhalten, dann Rechenschieber und später sogenannte Rechenautomaten mit manueller Bedienung. Computer, die ganze Räume füllten, konnten das natürlich, waren jedoch für den normalen Bürger nicht erschwinglich. Mit dem Aufkommen der Taschenrechner Anfang der 1970er-Jahre eröffnete sich nunmehr eine elegante Möglichkeit solche Berechnungen durchführen zu können. Dass digitale Rechner korrekt mit Nullen und Einsen rechnen können, sollte als vorausgesetzt betrachtet werden. Nur handelt es sich hier dann um ganze Zahlen, während Logarithmen meist rationale Zahlen sind, also einen Nachkommaanteil haben. Daher ist ein Algorithmus erforderlich, der hier schnell, aber auch präzise Abhilfe schafft.\\
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Der Algorithmus kann bzgl. der Präzision eingestellt werden. Hier habe ich 8 Stellen Genauigkeit eingerichtet, die in den meisten Fällen auch reichen. Wer nun mehr Ziffern verwenden möchte, sei auf die Arbeiten von Dieter Gretzschel (Old-Man-Tower) verwiesen. Bzgl. des dekadischen Logarithmus kann dazu folgendes Bild verwendet werden:\\
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[{Image src='Logarhitmus-Berechnung.png' width=587 height=357 }]
Logarhitmus-Berechnung: Schritt für Schritt, Stelle um Stelle\\
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was pro Iterationsschritt eine Stelle an Genauigkeit erzielt und somit beliebige Genauigkeit ermöglicht! Wieder einmal bewahrheitet sich: 8 Bit sind genug. ;-)\\
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Das Schema im Bild oben ist einfach erklärt: Man nehme eine beliebige Zahl M von der man den dekadischen Logarithmus bestimmen möchte, hier: 1234,56. Nun sieht man, dass links vom Komma 4 Stellen vorhanden sind. Hat man diese Zahl ermittelt, zieht man davon immer(!) 1 ab. Somit ergibt das im Beispiel oben die Zahl a0=3, welche bereits die Ergebniszahl links vom Komma darstellt (unterste Zeile im Bild). Im 2. Schritt, nimmt man nun das ermittelte a0 (=3 im Beispiel oben) und potenziert damit die Zahl 10. Der Nenner ist dann fertig. In den Zähler kommt als Startwert die Zahl M (=1234.56 im Beispiel oben). Der Quotient wird in Klammern gesetzt und mit 10 potenziert. Daraus ergibt sich eine neue Zahl (=8.2247369382767 im Beispiel oben). Hier sieht man, dass nur eine Stelle links vom Komma existiert, nämlich 8. 1 Stelle, von der eine Stelle abgezogen wird, ergibt 0 Stellen, somit ist a1=0. Der Wert wird dann wieder als Exponent an der Zahl 10 verwendet und ergibt somit den neuen Nenner. Der neue Zähler ist nun die eben berechnete Zahl: (=8.2247369382767 im Beispiel oben). Der Quotient wird wieder in Klammern gesetzt und mit 10 potenziert. Daraus ergib sich dann der Wert: 1416511689,4063. Links vom Komma befinden sich 10 Stellen. Wieder ziehen wir eine Stelle ab und erhalten 9 als Ergebnis. a2=9 ist die 3. Ziffer des Endergebnisses. Auf diese Art und Weise können somit beliebig viele Nachkommastellen ermittelt werden.\\
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Und nun viel Spaß beim Rechnen,\\
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Euer\\
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Luckybuck
Der Algorithmus kann bzgl. der Präzision eingestellt werden. Hier habe ich 8 Stellen Genauigkeit eingerichtet, die in den meisten Fällen auch reichen. Wer nun mehr Ziffern verwenden möchte, sei auf die Arbeiten von Dieter Gretzschel (Old-Man-Tower) verwiesen. Bzgl. des dekadischen Logarithmus kann dazu folgendes Bild verwendet werden:
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was pro Iterationsschritt eine Stelle an Genauigkeit erzielt und somit beliebige Genauigkeit ermöglicht! Wieder einmal bewahrheitet sich: 8 Bit sind genug. ;-)
Das Schema im Bild oben ist einfach erklärt: Man nehme eine beliebige Zahl M von der man den dekadischen Logarithmus bestimmen möchte, hier: 1234,56. Nun sieht man, dass links vom Komma 4 Stellen vorhanden sind. hat man diese Zahl ermittelt, zieht man davon immer(!) 1 ab. Somit ergibt das im Beispiel oben die Zahl a0=3, welche bereits die Ergebniszahl links vom Komma darstellt (unterste Zeile im Bild). Im 2. Schritt, nimmt man nun das ermittelte a0 (=3 im Beispiel oben) und potenziert damit die Zahl 10. Der Nenner ist dann fertig. In den Zähler kommt als Startwert die Zahl M (=1234.56 im Beispiel oben). Der Quotient wird in Klammern gesetzt und mit 10 potenziert. Daraus ergibt sich eine neue Zahl (=8.2247369382767 im Beispiel oben). Hier sieht man, dass nur eine Stelle links vom Komma existiert, nämlich 8. 1 Stelle, von der eine Stelle abgezogen wird, ergibt 0 Stellen, somit ist a1=0. Der Wert wird dann wieder als Exponent an der Zahl 10 verwendet und ergibt somit den neuen Nenner. Der neue Zähler ist nun die eben berechnete Zahl: (=8.2247369382767 im Beispiel oben). Der Quotient wird wieder in Klammern gesetzt und mit 10 potenziert. Daraus ergib sich dann der Wert: 1416511689,4063. Links vom Komma befinden sich 10 Stellen. Wieder ziehen wir eine Stelle ab und erhalten 9 als Ergebnis. a2=9 ist die 3. Ziffer des Endergebnisses. Auf diese Art und Weise können somit beliebig viele Nachkommastellen ermittelt werden.
Und nun viel Spaß beim Rechnen,
Euer
Roland
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